Μιγαδική Ανάλυση (Μ 211)

Μιχάλης Κολουντζάκης

Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Λεωφόρος Κνωσού, 714 09 Ηράκλειο, E-mail: kolount@gmail.com

Φθινόπωρο 2007-08

Halfway through a recent airplane flight from Warsaw to New York, there was nearly a major disaster when the flight crew got sick from eating the fish. After they had passed out, one of the flight attendants asked over the intercom if there were any pilots in the cabin.

An elderly gentleman, who had flown a bit in the war, raised his hand and was rushed into the cockpit of the 747. When he got there, took the seat, and saw all the displays and controls, he realized he was in over his head. He told the flight attendant that he didn't think he could fly this plane. When asked why not, he replied,

"I am just a simple Pole in a complex plane"


Περιεχόμενα

1 Ωράριο

Δευτέρα 3-5, Τετάρτη 3-5 στην αίθουσα Θ 207. Έναρξη μαθημάτων: 1/10/07.

Ώρες γραφείου: Τρίτη 10-12πμ.

2 Περιγραφή του μαθήματος

Από τον οδηγό σπουδών του Τμ. Μαθηματικών:

Mιγαδικοί αριθμοί. Pίζες. Aναλυτικές συναρτήσεις, συνθήκες Cauchy-Riemann, αρμονικές συναρτήσεις. Eκθετικές, τριγωνομετρικές, υπερβολικές, λογαριθμικές και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Eπικαμπύλια ολοκληρώματα. Tο θεώρημα Cauchy-Goursat. Oλοκληρωτικός τύπος του Cauchy. Θεώρημα του Morera. Aρχή Mεγίστου. Θεώρημα του Liouville. Θεμελιώδες θεώρημα της Aλγεβρας. Δυναμοσειρές. Σειρές Taylor και Laurent. Mεμονωμένες ανωμαλίες. Pίζες αναλυτικών συναρτήσεων. Oλοκληρωτικά υπόλοιπα. Aρχή αναλυτικής συνέχισης (ή ταυτότητας). Aρχή ορίσματος. Θεώρημα του Rouche.

2.1 Βιβλίο

Θα χρησιμοποιήσουμε το βιβλίο των J. Bak και D.J. Newman «Μιγαδική Ανάλυση» (Leader Books, 2004, μετάφραση Απόστολου Γιαννόπουλου).

3 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις

Θα δοθούν δύο υποχρεωτικά διαγωνίσματα κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Οι ημερομηνίες των δύο αυτών διαγωνισμάτων θα ανακοινωθούν μέσα στην πρώτη εβδομάδα των μαθημάτων.

Για την περίοδο Ιανουαρίου κάθε ένα από αυτά θα μετράει για το 1/3 του συνολικού βαθμού και το ίδιο θα μετράει και το τελικό διαγώνισμα.

Για την περίοδο Σεπτεμβρίου κάθε ένα από αυτά θα μετράει για το 1/6 του συνολικού βαθμού και το τελικό διαγώνισμα Σεπτεμβρίου θα μετράει για τα 2/3 του βαθμού.

4 Ημερολόγιο Μαθήματος

Η σελίδα αυτή θα ενημερώνεται τουλάχιστον μετά από κάθε μάθημα και σκοπό έχει να μεταδίδει μερικές βασικές χρήσιμες πληροφορίες για το περιεχόμενο του μαθήματος (π.χ. τι να προσέξετε, υποδείξεις για λύσεις των ασκήσεων, κ.ά.) καθώς και για διαδικαστικά θέματα.

Σπανίως θα βγαίνουν ανακοινώσεις που αφορούν το μάθημα σε χαρτί. Παρακαλώ να συμβουλεύεστε αυτή τη σελίδα τουλάχιστον 2-3 φορές την εβδομάδα.

4.1 Δε, 1/10/07: Αλγεβρικές και γεωμετρικές ιδιότητες των μιγαδικών αριθμών

Είδαμε πώς η εισαγωγή του συμβόλου $i=\sqrt{-1}$ οδηγεί μονοσήμαντα στον ορισμό των πράξεων στο σώμα των μιγαδικών αριθμών

\begin{displaymath} {\mathbf C}= {\left\{{x+iy: x,y \in {\mathbf R}}\right\}}. \end{displaymath}

Είδαμε ότι κάθε μιγαδικός αριθμός έχει δύο ακριβώς τετραγωνικές ρίζες (εκτός το $0$ που έχει μόνο μία). Είδαμε την πολική αναπαράσταση ενός μιγαδικού αριθμού $z = {\left\vert{z}\right\vert}(\cos{{{\rm Arg}\left({z}\right)}}+i \sin{{{\rm Arg}\left({z}\right)}})$. Επίσης υπολογίσαμε όλες τις $n$-οστές ρίζες ενός μιγαδικού αριθμού και είδαμε ότι βρίσκονται στις κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου.

Ορίσαμε το τι σημαίνει σύγκλιση μιας ακολουθίας μιγαδικών αριθμών και είδαμε ότι η έννοια της σύγκλισης είναι ισοδύναμη με τη σύγκλισης των ακολουθιών των πραγματικών και φανταστικών μερών της αρχική ακολουθίας.

4.2 Τε, 3/10/07: Τοπολογία του συνόλου των μιγαδικών αριθμών

Αναφέραμε τις έννοιες της σύγκλισης σειρών, ομοιόμορφης σύγκλισης σειρών και το κριτήριο του Weierstrass για σύγκλιση σειρών (χωρίς να το αποδείξουμε ακόμη). Επίσης τις έννοιες των ανοιχτών και κλειστών συνόλων στο ${\mathbf C}$ και των συνεκτικών συνόλων. Δείξαμε ότι ένα ανοιχτό και συνεκτικό σύνολο είναι και πολυγωνικά συνεκτικό.

Λύστε τις ασκήσεις: Κεφ. 1, σ. 17: 1-5, 7, 8, 10-15.

4.3 Δε, 8/10/07: Ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών. Στερογραφική προβολή και σημείο $\infty $. Αναλυτικά πολυώνυμα και εξισώσεις Cauchy-Riemann

Κάναμε την απόδειξη του θ. Weierstrass για ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών και θυμηθήκαμε και διάφορα θεωρήματα για την ομοιόμορφη σύγκλιση. Μιλήσαμε για το σημείο στο $\infty $, το επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο

\begin{displaymath} \overline{{\mathbf C}} = {\mathbf C}\cup {\left\{{\infty}\right\}}, \end{displaymath}

είδαμε πότε ένα πολυώνυμο των $x$ και $y$ μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο του $x+iy$ (εξισώσεις Cauchy-Riemann). Τέλος ορίσαμε τι σημαίνει για μια συνάρτηση $f:{\mathbf C}\to{\mathbf C}$ να είναι παραγωγίσιμη στο $z_0 \in {\mathbf C}$, είδαμε ότι η συνάρτηση $f(z) = \Re{z}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο 1 και ότι τα πολυώνυμα του $z$ είναι παραγωγίσιμα παντού.

4.3.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Ημερομηνίες διαγωνισμάτων

Το πρώτο διαγώνισμα θα γίνει στις 31/10/07, και ώρα 19:00. Το δεύτερο θα γίνει στις 28/11/07, και ώρα 19:00.

4.4 Τε, 10/10/07: Σύγκλιση δυναμοσειρών και παράγωγοι αυτών

Είδαμε το κύριο θεώρημα σύγκλισης για δυναμοσειρές, ότι δηλ. για κάθε δυναμοσειρά $\sum_{n=0}^\infty C_n z^n$ υπάρχει ένας αριθμός $R \in [0,\infty]$ (η ακτίνα σύγκλισης) ώστε η δυναμοσειρά να συγκλίνει απόλυτα στο σύνολο ${\left\{{{\left\vert{z}\right\vert}<R}\right\}}$, και μάλιστα ομοιόμορφα σε κάθε δίσκο ${\left\{{{\left\vert{z}\right\vert}\le\rho}\right\}}$, $\rho<R$, και να μη συγκλίνει στο σύνολο ${\left\{{{\left\vert{z}\right\vert}>R}\right\}}$.

Είδαμε έπειτα ότι μέσα στο δίσκο σύγκλισης ${\left\{{{\left\vert{z}\right\vert}<R}\right\}}$ υπάρχει η παράγωγος της $\sum_{n=0}^\infty C_n z^n$ και είναι η δυναμοσειρά $\sum_{n=1}^\infty n C_n z^{n-1}$, που έχει την ίδια ακτίνα σύγκλισης. Επό αυτό έπειτα ότι κάθε δυναμοσειρά έχει άπειρες παραγώγους στο δίσκο σύγκλισής της. Ειδαμε έπειτα ότι για τη συνάρτηση $f(z) = \sum_{n=0}^\infty C_n z^n$ έχουμε $C_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ για κάθε $n$ από το οποίο έπεται το θεώρημα μοναδικότητας για τις δυναμοσειρές, ότι δηλ. οι τιμές της $f(z)$ πάνω σε μια ακολουθία $z_n \to 0$ καθορίζουν τη δυναμοσειρά.

Λύστε τις ασκήσεις (σ. 33): 2, 3, 7-13, 19, 20.

4.5 Δε, 15/10/07: Αναλυτικές συναρτήσεις

Είδαμε τη σχέση της παραγωγισιμότητας μιας συνάρτησης $f:{\mathbf C}\to{\mathbf C}$ σε ένα σημείο $z$ με την ισχύ των εξισώσεων Cauchy-Riemann σε αυτό το σημείο. Είδαμε ότι μια αναλυτική συνάρτηση σε κάποιο χωρίο $D$ δε μπορεί να έχει σταθερό πραγματικό μέρος ή σταθερό μέτρο. Ορίσαμε την ακέραια συνάρτηση (δηλ. αναλυτική παντού) $e^z$ και μέσω αυτής τις $\cos z, \sin z$.

Λύστε τις ασκήσεις (σ. 44): 2, 4, 5-8, 10, 11, 13-16, 19.

4.6 Τε, 17/10/07: Λύση ασκήσεων

Λύσαμε διάφορες ασκήσεις κυρίως από τα κεφάλαια 2 και 3.

4.7 Δε, 22/10/07: Επικαμπύλια ολοκληρώματα

Ορίσαμε το μιγαδικό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα $\int_C f(z) dz$ μιας συνάρτησης $f$ ορισμένης πάνω σε μια καμπύλη $C$ και είδαμε διάφορες ιδιότητές του καταλήγοντας στο πολύ βασικό θεώρημα ότι αυτό το ολοκλήρωμα είναι 0 αν η $C$ είναι κλειστή καμπύλη και η $f$ είναι ακέραια συνάρτηση.

Λύστε τις ασκήσεις (σ. 59): 2, 3, 6, 9.

4.8 Τε, 24/10/07: Ιδιότητες ακεραίων συναρτήσεων

Αποδείξαμε τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy καθώς και τον τύπο του Taylor για ακέραιες συναρτήσεις. Είδαμε ότι αυτά συνεπάγονται ότι κάθε ακέραια συνάρτηση είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη (αφού αναπτύσσεται σε δυναμοσειρά). Επίσης ότι αν μια ακέραια συνάρτηση $f$ μηδενίζεται στο $a \in {\mathbf C}$ τότε γράφεται $f(z) = (z-a) \phi(z)$ όπου η $\phi$ είναι επίσης ακέραια. Δείξαμε το θεώρημα του Liouville (δεν υπάρχουν μη σταθερές φραγμένες ακέραιες συναρτήσεις) και είδαμε ότι αυτό συνεπάγεται το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας (κάθε πολυώνυμ ο βαθμού $n$ έχει ακριβώς $n$ μιγαδικές ρίζες (αν μετρηθούν με πολλαπλότητα).

Λύστε τις ασκήσεις σ. 70: 1, 2, 4, 5, 8-10.

4.8.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Πρώτο διαγώνισμα και υπόδειγμα

Το πρώτο διαγώνισμα θα γίνει στις 19:00 το βράδυ της Τετάρτης 31/10/07, στο Αμφ ΒΞ, και θα έχει διάρκεια μια ώρα. Η ύλη που θα πρέπει να γνωρίζετε είναι ότι έχετε διδαχτεί μέχρι και την Τετάρτη 24/10/07. Τη Δευτέρα και Τετάρτη της ερχόμενης εβδομάδας τα δύο δίωρα του μαθήματος θα γίνει λύση ασκήσεων και δε θα προχωρήσουμε σε νέα ύλη. Θα υποθέσω ότι έχετε λύσει και καταλάβει τις ασκήσεις που σας έχουν ανατεθεί μέχρι στιγμής.

Για την προετοιμασία σας μπορείτε να βρείτε εδώ σε μορφή PDF ένα υπόδειγμα διαγωνίσματος. Για να προετοιμαστείτε σωστά δεν αρκεί βέβαια να λύσετε μόνο αυτό. Οι ασκήσεις που θα μπουν θα είναι τελείως διαφορετικές. Πρέπει να λύσετε τις ασκήσεις που έχουν ανατεθεί από το βιβλίο και να διαβάσετε τη θεωρία.

4.9 Δε, 29/10/07: Λύση ασκήσεων

Λύσαμε τις ασκήσεις του υποδείγματος καθώς και μερικές ασκήσεις βασισμένες στο θεώρημα του Liouville. Και στο μάθημα της Τετάρτης θα λύσουμε πάλι ασκήσεις - ελάτε ετοιμασμένοι να ρωτήσετε.

4.10 Τε, 31/10/07: Λύση ασκήσεων

Λύσαμε ασκήσεις ως προετοιμασία για το πρώτο διαγώνισμα.

4.10.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Πρώτο διαγώνισμα

Έγινε απόψε το πρώτο διαγώνισμα. Μπορείτε να το δείτε εδώ σε μορφή PDF.

Τα αποτελέσματα είναι εδώ. (άριστα = 40).

4.11 Δε, 5/11/07: Ιδιότητες συναρτήσεων αναλυτικών σε ανοιχτό σύνολο

Είδαμε διάφορες ιδιότητες (ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy, σειρά Taylor) που ισχύουν για μια αναλυτική συνάρτηση ακόμη κι αν αυτή δεν είναι ακέραια, ουσιαστικά με τις ίδιες αποδείξεις (Κεφ. 6), και ελαφρά τροποποιημένες, Για παράδειγμα, αν μια συνάρτηση $f$ είναι αναλυτική σε ένα ανοιχτό σύνολο $D$ και $a \in D$, τότε η $f$ αναπτύσσεται σε δυναμοσειρά με κέντρο το $a$ στο μέγιστο δίσκο $D(a; r) \subseteq D$.

4.12 Τε, 7/11/07: Αρχή μεγίστου, ελαχίστου, θεώρ. ανοιχτής απεικόνισης, λήμμα Schwarz

Τελειώσαμε το Κεφ. 6 και από το Κεφ. 7 αποδείξαμε το θ. ανοιχτής απεικόνισης και το Λήμμα του Schwarz.

Λύστε τις ασκήσεις: Κεφ. 6: 1, 3, 4, 6, 8, 10, 11.

4.13 Δε, 12/11/07: Διγραμμικοί μετασχηματισμοί και Λήμμα του Schwarz. Θεώρημα του Morera.

Είδαμε την κλάση των απεικονίσεων (διγραμμικοί μετασχηματισμοί)

\begin{displaymath} B_a(z) = \frac{z-a}{1-\overline{a}z}, a \in {\mathbf D}:= D(0; 1) \end{displaymath}

που είναι απεικονίσεις $B_a:{\left\{{{\left\vert{z}\right\vert}<1}\right\}} \to {\left\{{{\left\vert{z}\right\vert}<1}\right\}}$ και $B_a: {\left\{{{\left\vert{z}\right\vert}=1}\right\}} \to {\left\{{{\left\vert{z}\right\vert}=1}\right\}}$. Είδαμε επίσης πώς χρησιμοποιούμε το λήμμα του Schwarz σε συνδυασμό με τους διγραμμικούς μετασχηματισμούς.

Είδαμε το θεώρημα του Morera που μας λέει ότι μια συνάρτηση είναι αναλυτική σε ένα ανοιχτό σύνολο αν τα ολοκληρώματά της πάνω σε όλα τα ορθογώνια εκεί μέσα είναι 0. Είδαμε πώς το χρησιμοποιούμε για να δείξουμε ότι ορισμένες συναρτήσεις που ορίζονται από ολοκληρώματα αναλυτικών συναρτήσεων είναι επίσης αναλυτικές. Είδαμε επίσης μέσω του θεωρήματος του Morera ότι αν μια συνάρτηση είναι ομοιόμορφο όριο (στα συμπαγή υποσύνολα ενός ανοιχτού συνόλου) μιας ακολουθίας αναλυτικών συναρτήσεων τότε είναι κι αυτή αναλυτική.

4.14 Τε, 14/11/07: Αρχή ανάκλασης του Schwarz. Λύση ασκήσεων του κεφ. 7

Αποδείξαμε την αρχή ανάκλασης του Schwarz. Λύσαμε κάποιες ασκήσεις από το Κεφ. 7.

Από το Κεφ. 7 να λύσετε όλες τις ασκήσεις.

4.15 Δε, 19/11/07: Ορισμός λογαρίθμου

Ορίσαμε τι σημαίνει απλά συνεκτικό χωρίο στο ${\mathbf C}$.

Είδαμε, χωρίς απόδειξη, ότι αν έχουμε ένα απλά συνεκτικό χωρίο $D$ που δεν περιέχει το 0 τότε υπάρχει αναλυτική $f:D\to{\mathbf C}$ τέτοια ώστε $e^{f(z)}=z$, για $z \in D$. Μια τέτοια συνάρτηση λέγεται κλάδος του λογαρίθμου στο $D$. Είδαμε διάφορα παραδείγματα.

4.16 Τε, 21/11/07: Μεμονωμένες ανωμαλίες αναλυτικών συναρτήσεων

Λέμε ότι μια συνάρτηση $f$ που είναι αναλυτική σε ένα τρυπημένο δίσκο

\begin{displaymath} D = D(z_0;\delta)\setminus{\left\{{z_0}\right\}} \end{displaymath}

έχει μεμονωμένη ανωμαλία στο $z_0$.

Οι ανωμαλίες αυτές μπορούν να είναι τριών ειδών (α) αιρούμενες, (β) πόλοι πεπερασμένης τάξης ή (γ) ουσιώδεις ανωμαλίες. Είδαμε αυτές τις κατηγορίες με λεπτομέρεια όσον αφορά τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στο $z_0$ (§9.1).

Λύστε τις ασκήσεις 1-6 του Κεφ. 9.

4.16.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Δεύτερο διαγώνισμα και υπόδειγμα

Το δεύτερο διαγώνισμα θα γίνει στις 15:00 το απόγεμα της Τετάρτης 28/11/07, στην αίθουσα όπου γίνεται το μάθημα, και θα έχει διάρκεια μια ώρα. Η ύλη που θα πρέπει να γνωρίζετε είναι ότι έχετε διδαχτεί μέχρι και την Τετάρτη 21/11/07. Τη Δευτέρα της ερχόμενης εβδομάδας θα γίνει λύση ασκήσεων και δε θα προχωρήσουμε σε νέα ύλη. Θα υποθέσω ότι έχετε λύσει και καταλάβει τις ασκήσεις που σας έχουν ανατεθεί μέχρι στιγμής.

Για την προετοιμασία σας μπορείτε να βρείτε εδώ σε μορφή PDF ένα υπόδειγμα διαγωνίσματος. Για να προετοιμαστείτε σωστά δεν αρκεί βέβαια να λύσετε μόνο αυτό. Οι ασκήσεις που θα μπουν θα είναι τελείως διαφορετικές. Πρέπει να λύσετε τις ασκήσεις που έχουν ανατεθεί από το βιβλίο και να διαβάσετε τη θεωρία.

4.17 Δε, 26/11/07: Λύση ασκήσεων

Λύσαμε το πρότυπο διαγώνισμα και διάφορες άλλες ασκήσεις ως προετοιμασία για το διαγώνισμα της Τετάρτης.

4.18 Τε, 28/11/07: Δεύτερο Διαγώνισμα

Έγινε σήμερα το δεύτερο διαγώνισμα. Μπορείτε να δείτε τα θέματα εδώ σε μορφή PDF.

Μπορείτε να δείτε τους βαθμούς εδώ.


4.18.1 Σα, 1/12/07: Λύση μιας άσκησης από το μάθημα

Σε προηγούμενο μάθημα είχαμε ξεκινήσει να λύσουμε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης το οποίο όμως δε λύσαμε. Μπορείτε να το βρείτε εδώ σε μορφή PDF.

4.19 Δε, 3/12/07: Λύση ασκήσεων

Λύσαμε τις ασκήσεις του τελευταίου διαγωνίσματος και επίσης την άσκηση που αναφέρεται στην §4.18.1. Αυτή ήταν λυμένη λάθος (η εκφώνηση του Λήμματος ήταν σωστή αλλά όχι η απόδειξή του) και αυτό το το λάθος το διορθώσαμε και μπορείτε να βρείτε τη λύση γραμμένη εδώ σε μορφή PDF.

4.20 Τε, 5/12/07: Αναπτύγματα σε σειρές Laurent

Είδαμε ότι μια συνάρτηση $f$ που είναι αναλυτική σε ένα δακτύλιο $A = {\left\{{R_1 \le {\left\vert{z-a}\right\vert} \le R_2}\right\}}$ αναπτύσσεται σε σειρά Laurent με κέντρο το $a$:

\begin{displaymath} f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty C_n (z-a)^n, \end{displaymath}

και οι συντελεστές αυτής της σειράς είναι μοναδικά καθορισμένοι από την $f$ και το δακτύλιο $A$. Μια συνάρτηση $f$ όμως μπορεί κάλλιστα να έχει δύο ή παραπάνω διαφορετικές σειρές Laurent, ακόμη και ως πρός το ίδιο κέντρο, οι οποίες όμως θα ισχύουν σε διαφορετικούς δακτυλίους. Για παράδειγμα, η συνάρτηση

\begin{displaymath} f(z) = \frac{1}{z-1} + \frac{1}{z-5} \end{displaymath}

έχει τρείς διαφορετικές σειρές Laurent με κέντρο το $0$. Η πρώτη ισχύει για ${\left\vert{z}\right\vert}<1$, η δεύτερη για $1 < {\left\vert{z}\right\vert} < 5$ και η τρίτη για $5<{\left\vert{z}\right\vert}$.

Λύστε τις ασκήσεις, σελ. 121: 7-10, 12.

4.21 Δε, 10/12/07: Αναπτύγματα σε σειρές Laurent. Υπόλοιπα.

Υπολογίσαμε διάφορα παραδείγματα σειρώ Laurent και ορίσαμε το υπόλοιπο ${\rm Res }{f, a}$ της $f$ στο $a \in {\mathbf C}$ να είναι ο συντελεστής του $(z-a)^{-1}$ στο ανάπτυγμα Laurent της $f$ με κέντρο το $a$ και που ισχύει σε τρυπημένο δίσκο $0<{\left\vert{z-a}\right\vert}<\delta$. Υπολογίσαμε διάφορα υπόλοιπα συναρτήσεων.

4.22 Τε, 12/12/07: Δείκτης στροφής, Θ. υπολοίπων, αρχή ορίσματος, Θ. Rouché

Ορίσαμε το δείκτη στροφής μιας κλειστής καμπύλης $\gamma$ ως πρός ένα σημείο $a \in {\mathbf C}\setminus \gamma$ και δείξαμε ότι πρόκειται πάντα για ένα ακέραιο αριθμό ο οποίος μετράει «πόσες φορές γυρνάει η καμπύλη $\gamma$ γύρω από το $a$».

Δείξαμε το Θεώρημα Υπολοίπων του Cauchy καθώς και την αρχή ορίσματος η οποία μας βοηθάει να μετρήσουμε τις ρίζες και τους πόλους που έχει μια μερόμορφη συνάρτηση στο εσωτερικό μιας απλής κλειστής καπύλης $\gamma$. Αρχίσαμε να αποδεικνύουμε το Θεώρημα του Rouché.

4.22.1 Πέ, 13/12/07: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Σταματάνε τα μαθήματα μέχρι νεωτέρας

Δείτε εδώ σε μορφή PDF ανακοίνωση της Συγκλήτου του ΠΚ.

4.22.2 Τε, 19/12/07: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Ξαναρχίζουν τα μαθήματα στο ΠΚ

4.23 Τε, 19/12/07: Θ. Rouché, Hurwitz και συνέπειες

Τελειώσαμε το Κεφ. 10.

Λύστε τις ασκήσεις του Κεφ. 10: 1-3, 5-8, 10.

4.24 Δε, 7/1/08: Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με χρήση των υπολοίπων

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για υπολογισμό πραγματικών καταχρηστικών ολοκληρωμάτων, όπως για παράδειγμα το

\begin{displaymath} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{1+x^4}, \end{displaymath}

με χρήση του θεωρήματος του Cauchy για τα υπόλοιπα. Είδαμε από το Κεφ. 11, πώς υπολογίζονται ολοκληρώματα του τύπου 1 (με παραδείγματα) και τύπου 2 (χωρίς παραδείγματα).

4.25 Τε, 9/1/08: Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με χρήση των υπολοίπων, συνέχεια

Είδαμε ξανά τα ολοκληρώματα που είχαμε δει και τη Δευτέρα καθώς και νέα παραδείγματα.

Από το Κεφ. 11 διαβάστε τις σελίδες 139-143 και την κατηγορία ολοκληρωμάτων IV στις σελίδες 147-148.

Λύστε την Άσκηση 1 (εκτός το (ζ)) και τις Ασκήσεις 2, 3.

4.25.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τρίτο (τελικό) διαγώνισμα και υπόδειγμα

Το τρίτο διαγώνισμα θα γίνει στις 13:00 το απόγεμα της Τετάρτης 23/1/08, σε αίθουσες που θα ανακοινώσει το Τμήμα, και θα έχει διάρκεια μια ώρα ή και λίγο παραπάνω. Η ύλη που θα πρέπει να γνωρίζετε είναι ότι έχετε διδαχτεί καθ'όλη τη διάρκεια του εξαμήνου, αλλά η έμφαση θα είναι στην ύλη που διδάχτηκε μετά το δεύτερο διαγώνισμα.

Τη Δευτέρα 21/1/08 θα γίνει λύση ασκήσεων στην αίθουσα Θ 207 στις 17:00.

Για την προετοιμασία σας μπορείτε να βρείτε εδώ σε μορφή PDF ένα υπόδειγμα διαγωνίσματος. Για να προετοιμαστείτε σωστά δεν αρκεί βέβαια να λύσετε μόνο αυτό. Οι ασκήσεις που θα μπουν θα είναι τελείως διαφορετικές. Πρέπει να λύσετε τις ασκήσεις που έχουν ανατεθεί από το βιβλίο και να διαβάσετε τη θεωρία.

4.26 Τε, 13/1/08: Τρίτο διαγώνισμα

Έγινε σήμερα το τρίτο και τελικό διαγώνισμα. Μπορείτε να δείτε τα θέματα εδώ σε μορφή PDF.

Μπορείτε να δείτε τους τελικούς βαθμούς εδώ σε μορφή PDF.

4.27 Τε, 3/9/08: Διαγώνισμα Σεπτεμβρίου

Έγινε σήμερα το διαγώνισμα Σεπτεμβρίου το οποίο μπορείτε να δείτε εδώ σε μορφή PDF.

Περνάει (με βαθμό 5.0) μόνο ο Α.Μ. 2890.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν εμφανίζεται στη λίστα εγγεγραμμένων του μαθήματος. Παρακαλώ να το ταχτοποιήσει αν μπορεί και να με ειδοποιήσει για να δώσω το βαθμό.


Mihalis Kolountzakis 2008-09-05