Γενικά Μαθηματικά ΙΙ για το Τμήμα Επιστ. & Τεχν. Υλικών

Μιχάλης Κολουντζάκης

Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Λεωφόρος Κνωσού, 714 09 Ηράκλειο, E-mail: kolount@gmail.com

Άνοιξη 2005-06

Περιεχόμενα

• 1 Ωράριο
• 2 Περιγραφή του μαθήματος
• 3 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις
• 4 Γενικές ανακοινώσεις
• 5 Ημερολόγιο Μαθήματος
  • 5.1 Τρ, 21/2/06: Διανύσματα στο επίπεδο
  • 5.2 Πέ, 23/2/06: Εσωτερικό γινόμενο. Διανυσματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής.
  • 5.3 Τρ, 28/2/06: Κίνηση σωματίου και εφαρμογή στην κίνηση βλήματος
  • 5.4 Πέ, 2/3/06: Πολικές συντεταγμένες
  • 5.5 Τρ, 7/3/06: Διανύσματα στο χώρο
  • 5.6 Πέ, 9/3/06: Παραδείγματα
  • 5.7 Τρ, 14/3/06: Επιφάνειες 2ου βαθμού και παραμετρικές εξισώσεις καμπυλών στο χώρο
    • 5.7.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: 1o διαγώνισμα
  • 5.8 Πέ, 16/3/06: Μήκος τόξου και εφαπτόμενο διάνυσμα
  • 5.9 Τρ, 21/3/06: Συναρτήσεις δύο μεταβλητών, χωρία στο επίπεδο, συνέχεια
    • 5.9.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Εξέταση προηγούμενου Φεβρουαρίου με κ. Φειδά
    • 5.9.2 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Αναβολή πρώτου διαγωνίσματος
    • 5.9.3 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: 1ο Διαγώνισμα
  • 5.10 Τρ, 28/3/06: Μερικές παράγωγοι
  • 5.11 Πέ, 30/3/06: Κανόνας αλυσίδας για συναρτήσεις με πολλές μεταβλητές
  • 5.12 Τρ, 4/4/06: Κατά κατεύθυνση παράγωγος και κλίση της
  • 5.13 Πέ, 6/4/06: Τοπικά και ολικά ακρότατα
  • 5.14 Τρ, 11/4/06: Πολλαπλασιαστές Lagrange
  • 5.15 Πέ, 13/4/06: Πολυώνυμα και σειρές Taylor
    • 5.15.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Δεύτερο διαγώνισμα
  • 5.16 Τρ, 2/5/06: Διπλά ολοκληρώματα, κέντρο μάζας
  • 5.17 Πέ, 4/5/06: Υπόδειγμα διαγωνίσματος και πολικές συντεταγμένες για διπλά ολοκληρώματα
    • 5.17.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τρίτο διαγώνισμα
    • 5.17.2 Πα, 5/5/06: Δεύτερο διαγώνισμα
    • 5.17.3 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Σα, 6/5/06: Δεύτερο διαγώνισμα: βαθμοί
  • 5.18 Τρ, 9/5/06: Τριπλά ολοκληρώματα
  • 5.19 Πέ, 11/5/06: Τριπλά ολοκληρώματα σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες
  • 5.20 Τρ, 16/5/06: Δεν έγινε μάθημα
  • 5.21 Πέ, 16/5/06: Δεν έγινε μάθημα
    • 5.21.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Πα, 19/5/06: Μάθημα της 25/5/06
    • 5.21.2 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Δε, 22/5/06: Τρίτο διαγώνισμα
    • 5.21.3 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Πα, 4/8/06: Διαγώνισμα Σεπτεμβρίου
    • 5.21.4 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Δε, 11/9/06: Αποτελέσματα Σεπτεμβρίου
    • 5.21.5 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Συμπληρωματική προφορική εξέταση
    • 5.21.6 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου 2007

1 Ωράριο

Έναρξη μαθημάτων: 20/2/06.

Διαλέξεις στο Αμφιθέατρο 2 του κτηρίου του Τμήματος Χημείας (Α2Χ), Τρίτη 6-8 και Πέμπτη 4-6. Δίωρο ασκήσεων (γίνεται από το φοιτητή Νίκο Ταβλαδάκη) στο ίδιο αμφιθέατρο την Παρασκευή 3-5.

Ώρες γραφείου του διδάσκοντα: Τε 11-1 (Γ 111, προκατ κτήριο στην Κνωσό)

2 Περιγραφή του μαθήματος

Διανύσματα στο επίπεδο και στο χώρο, περιγραφή γεωμετρικών σχημάτων με διανύσματα, παραμετρικές εξισώσεις, κίνηση στο χώρο. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, μερικές παράγωγοι, προβλήματα βελτιστοποίησης. Διπλά και τριπλά ολοκληρώματα και μέθοδοι υπολογισμού των. Επικαμπύλια και επιφανειακά ολοκληρώματα, θεωρήματα Green και Stokes.

θα χρησιμοποιήσουμε το βιβλίο των Thomas, Finney, Weir και Giordano, ``Απειροστικός Λογισμός'', Τόμος ΙΙ (Πανεπ. Εκδόσεις Κρήτης), και θα καλύψουμε τα κεφάλαια 9-13.

3 Βαθμολογικό Σύστημα - Εξετάσεις

Θα δοθούν τέσσερα διαγωνίσματα, τα $T_1$, $T_2$, $T_3$ και $T_F$, με αυτή τη χρονική σειρά. To $T_F$ θα δοθεί μέσα στην εξεταστική περίοδο ενώ τα άλλα κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. ΔΕΙΤΕ ΟΜΩΣ: §5.17.1.

Ο τελικός σας βαθμός θα είναι είτε ο $(1/3)(T_1 + T_2 + T_3)$ είτε ο $(1/3)(T_1+T_2+T_F)$. Θα πρέπει να επιλέξετε πριν από το τρίτο διαγώνισμα αν θα δώσετε το $T_3$ ή το $T_F$.

Η ύλη που θα εξετάζεται στο καθένα θα είναι περίπου ότι έχει διδαχθεί από το προηγούμενο διαγώνισμα, με εξαίρεση 1-2 ασκήσεις που μπορούν να είναι από ό,τι έχει διδαχθεί μέχρι τότε.

Το $T_1$ θα καλύπτει τα Κεφ. 9, 10, το $T_2$ το Κεφ. 11 και τα $T_3$ ή $T_F$ τα Κεφ. 12, 13.

4 Γενικές ανακοινώσεις

1. Τετάρτη 15/3/06: Το 1o διαγώνισμα θα γίνει την ώρα του μαθήματος την Πέμπτη 23/3 πάνω σε ό,τι ύλη καλύψουμε και την Πέμπτη 16/3.
2. Τετάρτη 22/3/06: Δείτε §5.9.1.
3. Πέμπτη 23/3/06: Δείτε §5.9.2.
4. Πέμπτη, 13/4/06: Δείτε §5.15.1.
5. Πέμπτη, 4/5/06: Δείτε §5.17.1.
6. Σάββατο, 6/5/06: Δείτε §5.17.3.
7. Παρασκευή, 19/5/06: Δείτε §5.21.1.
8. Δευτέρα, 22/5/06: Δείτε §5.21.2.
9. Παρασκευή, 4/7/06: Δείτε §5.21.3.
10. Δευτέρα, 11/9/06: Δείτε §5.21.4.

5 Ημερολόγιο Μαθήματος

Η σελίδα αυτή θα ενημερώνεται τουλάχιστον μετά από κάθε μάθημα και σκοπό έχει να μεταδίδει μερικές βασικές χρήσιμες πληροφορίες για το περιεχόμενο του μαθήματος (π.χ. τι να προσέξετε, υποδείξεις για λύσεις των ασκήσεων, κ.ά.) καθώς και για διαδικαστικά θέματα.

Παρακαλώ να τη συμβουλεύεστε τουλάχιστον 2-3 φορές την εβδομάδα.

Μπορείτε εδώ να δείτε μια αντίστοιχη ιστοσελίδα (στα Αγγλικά) από ένα εντελώς παρόμοιο μάθημα που δίδαξα πέρυσι στο Georgia Institute of Technology.

5.1 Τρ, 21/2/06: Διανύσματα στο επίπεδο

Καλύψαμε την παράγραφο §9.1 του βιβλίου. Είδαμε τι είναι διανύσματα στο επίπεδο, πως τα προσθέτουμε μεταξύ τους και τα πολλαπλασιάζουμε με αριθμούς, πώς υπολογίζουμε το μέτρο (μήκος) τους και διάφορες άλλες εφαρμογές τους.

Λύστε τις ασκήσεις §9.1: 3, 6, 10, 14, 19, 20, 26, 27, 35, 37, 39, 40, 41, 53.

5.2 Πέ, 23/2/06: Εσωτερικό γινόμενο. Διανυσματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής.

Είδαμε πώς ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων (§9.2) καθώς και ιδιότητες αυτού. Είδαμε επίσης πώς αυτό χρησιμοποιείται για να αποδείξουμε διάφορα θεωρήματα που αποδεικνύαμε στο σχολείο με Ευκλείδια Γεωμετρία. Καλύψαμε και μέρος της §9.3. Είδαμε την έννοια της διανυσματικής συνάρτησης $\vec r(t) = (x(t), y(t))$, την έννοια του ορίου $t \to t_0$ μιας τέτοιας συνάρτησης καθώς και την έννοια της παραγώγου και πώς αυτή συμπεριφέρεται με τις αλγεβρικές πράξεις. Για παράδειγμα δείξαμε τον τύπο παραγώγισης εσωτερικού γινομένου

$$(\vec r(t) \cdot \vec u(t))' = \vec r'(t) \cdot \vec u (t) + \vec r(t) \cdot \vec u'(t).$$

Λύστε τις ασκήσεις §9.2: 1, 5, 7, 13, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 37, 39, 45, 46.

5.3 Τρ, 28/2/06: Κίνηση σωματίου και εφαρμογή στην κίνηση βλήματος

Είδαμε πώς υπολογίζονται τα διανύσματα της ταχύτητας ( $\vec v(t) = \vec r'(t)$) και της επιτάχυνσης ( $\vec a (t) = \vec r''(t)$) για ένα σωμάτιο που τη χρονική στιγμή $t$ βρίσκεται στη θέση $\vec r(t)$. Υπολογίσαμε τα μεγέθη αυτά σε διάφορα παραδείγματα. Είδαμε επίσης πώς βρίσκουμε τη συνάρτηση $\vec r(t)$ αν ξέρουμε μια διαφορική εξίσωση γι' αυτή, αν δηλ. γνωρίζουμε πληροφορία για τις παραγώγους της, όπως επίσης και αρχικές συνθήκες. Κάναμε στη συνέχεια εφαρμογή αυτών στην κίνηση βλήματος υπό την επίρροια της βαρυτικής δύναμης.

Διαβάστε τις §9.3 και 9.4 και λύστε τις ασκήσεις §9.3: 5, 6, 11, 15, 16, 19, 21, 24, 30, 31, 34 και §9.4: 2, 3, 8, 12, 14, 15, 19.

5.4 Πέ, 2/3/06: Πολικές συντεταγμένες

Είδαμε πώς ορίζονται οι πολικές συντεταγμένες ενός σημείου στο επίπεδο και πώς μπορεί κανείς να βρεί τις πολικές συντεταγμένες $(r,\theta)$ από τις καρτεσιανές $(x,y)$. Επίσης είδαμε πώς μπορεί κανείς να υπολογίσει τις κλίσεις εφαπτομένης μιας καμπύλης που έχει περιγραφεί με μια πολική εξίσωση του τύπου $r = f(\theta)$. Ομοίως είδαμε πώς να υπολογίσουμε το εμβαδό που σαρώνει μια ακτίνα με μια άκρη στο 0 και την άλλη άκρη πάνω στην καμπύλη $r = f(\theta)$. Τέλος είδαμε πώς να υπολογίσουμε το μήκος καμπύλης που περιγράφεται ομοίως.

Διαβάστε τις §9.5 και 9.6. Παραλείψετε τα Παραδείγματα 8 και 9 (§9.5).

Λύστε τις ασκήσεις §9.5: 1, 3, 11-14, 19-22, 37-40. Επίσης τις §9.6: 1, 2, 13, 14, 19, 31, 32.

5.5 Τρ, 7/3/06: Διανύσματα στο χώρο

Είδαμε πώς γενικεύεται η έννοια του διανύσματος στις 3 διαστάσεις. Επίσης είδαμε το εξωετερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων και πώς αυτό χρησιμοποιείται για να υπολογίσουμε διάφορες γεωμετρικές ποσότητες, για παράδειγμα τη εξίσωση ενός επιπέδου. Είδαμε την ερμηνεία του εξωτερικού γινομένου ως εμβαδό παραλληλογράμμου καθώς και την ερμηνεία του μικτού γινομένου $(\vec u \times \vec v)\cdot \vec w$ ως όγκου ενός παραλληλεπιπέδου. Διαβάστε τις §10.1 (γρήγορα), §10.2 και §10.3.

Λύστε τις ασκήσεις: §10.2: 7, 16, 17, 18, 29, 34, 41, 47, §10.3: 1, 2, 5, 7, 15, 16, 17, 19, 21, 27.

5.6 Πέ, 9/3/06: Παραδείγματα

Είδαμε διάφορα παραδείγματα γεωμετρικών υπολογισμών.

1. Πώς να βρούμε την εξίσωση επιπέδου που περνά από τρία σημεία
2. Πώς να βρούμε αν δύο ευθείες στο χώρο ορίζουν επίπεδο και ποιο είναι αυτό
3. Πώς να βρούμε την τομή δύο ευθυγράμμων τμημάτων στο επίπεδο

5.7 Τρ, 14/3/06: Επιφάνειες 2ου βαθμού και παραμετρικές εξισώσεις καμπυλών στο χώρο

Είδαμε μερικές κατηγορίες επιφανειών που περιγράφονται από πολυωνυμικές εξισώσεις 2ου βαθμού. Αυτές είναι πολυώνυμα τα μονώνυμα των οποία έχουν συνολικό βαθμό μέχρι και 2. Είδαμε τις εξισώσεις της σφαίρας και της έλλειψης, τν κυλινδρικών επιφανειών, του παραβολοειδούς και του κώνου.

Επίσης μελετήσαμε την κίνηση σωματίου στο χώρο $\vec r(t) = (x(t), y(t), z(t))$ και είδαμε με λεπτομέρεια την παραμετρική εξίσωση της έλικας, πώς να υπολογίσουμε ταχύτητα και επιτάχυνση καθώς και πώς οι τροποποιήσεις στην παραμετρική αυτή εξίσωση επηρεάζουν το σχήμα της έλικας αλλά και την κίνηση του σωματίου πάνω σε αυτή.

Διαβάστε τις §10.4 , 10.5 και λύστε τις ασκήσεις: §10.4: 1, 3, 7, 11, 13, 14, §10.5: 1, 2, 7, 13, 19, 22.

5.7.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: 1o διαγώνισμα

Θα γίνει την ώρα του μαθήματος την Πέμπτη 23/3 πάνω σε ό,τι ύλη καλύψουμε και την Πέμπτη 16/3.

Μπορείτε εδώ να βρείτε ένα υπόδειγμα του διαγωνίσματος αυτού.

5.8 Πέ, 16/3/06: Μήκος τόξου και εφαπτόμενο διάνυσμα

Καλύψαμε την §10.6. Είδαμε πώς ορίζεται και η παραμέτριση μιας καμπύλης ως πρός το μήκος τόξου. Αυτή είναι μια παραμέτριση της καμπύλης που μας έχει δοθεί που αντιστοιχεί σε κίνηση ενός σωματίου πάνω στην καμπύλη με γραμμική ταχύτητα ίση με 1. Η παραμέτριση αυτή είναι ουσιαστικά μοναδική για κάθε καμπύλη: εξαρτάται μόνο από το σημείο πάνω στην καμπύλη απ' όπου μετράμε τις αποστάσεις και από τη φορά κίνησης πάνω στην καμπύλη.

Συμβολίζουμε με $\vec T$ το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης και ισχύει $\vec T(t) = \frac{\vec v{t}}{{\left\vert{\vec v(t)}\right\vert}}$, είναι δηλ. το $\vec T$ ίσο με το διάνυσμα ταχύτητας κανονικοποιημένο. Ο ρυθμός μεταβολής του $\vec T$ ως προς το μήκος τόξου ονομάζεται καμπυλότητα:

$$\kappa = {\left\vert{\frac{d\vec T}{ds}}\right\vert}.$$

Ακτίνα καμπυλότητας μιας καμπύλης σε ένα σημείο της είναι η ποσότητα $1/\kappa$. Τέλος το διάνυσμα $\vec N$ ορίζεται ως η παράγωγος του $\vec T$ ως προς μήκος τόξου $s$ και έχει την ιδιότητα ότι είναι κάθετο πάντα στο $\vec T$. Τα δύο διανύσματα $\vec T$ και $\vec N$ ορίζουν, μαζί με το σημείο $\vec r$ ένα επίπεδο ποθα κατά κάποιον τρόπο έρχεται πλησιέστερα απ' όλα τα άλλα επίπεδα στο να «περιέχει» την καμπύλη μας. Πάνω σε αυτό το επίπεδο ορίζεται και ο συνεφαπτόμενος κύκλος της καμπύλης, με ακτίνα την ακτίνα καμπυλότητας ($1/\kappa$) στο σημείο αυτό και κέντρο το σημείο $\vec r + (1/\kappa)\vec N$. Ο κύκλος αυτός έχει κι αυτός την ιδιότητα ότι έρχεται κοντύτερα στην καμπύλη μας απ΄ όλους τους άλλους κύκλους που περνάνε από το σημείο $\vec r$.

Λύστε τις ασκήσεις §10.6: 1-4, 9, 11, 12, 15-18.

5.9 Τρ, 21/3/06: Συναρτήσεις δύο μεταβλητών, χωρία στο επίπεδο, συνέχεια

Καλύψαμε τις §11.1 και §11.2. Είδαμε παραδείγματα συναρτήσεων δύο μεταβλητών $f(x,y)$, τη γραφική τους παράσταση που είναι η επιφάνεια που ορίζεται από την εξίσωση $z=f(x,y)$ για $(x,y)$ στο πεδίο ορισμού της $f$, την έννοια των εσωτερικών και συνοριακών σημείων χωρίου $D \subseteq {\mathbf R}^2$, τι σημαίνει για ένα χωρίο να είναι ανοιχτό και τι κλειστό. Επίσης είδαμε πώς ορίζεται το όριο $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)$ και πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Τέλος μελετήσαμε ως προς τη συνέχειά τους μερικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών.

Λύστε τις ασκήσεις: §11.1: 1-6, 13-18, 29, 30, §11.2: 1, 2, 6, 13, 14, 21, 27, 28, 31, 32, 35, 36.

5.9.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Εξέταση προηγούμενου Φεβρουαρίου με κ. Φειδά

Το μάθημα περνούν από την εξέταση του Φεβρουαρίου που έκανε ο κ. Φειδάς μόνο οι φοιτητές/-τριες με ΑΜ 30 και 180 (βαθμός = 5).

5.9.2 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Αναβολή πρώτου διαγωνίσματος

Το 1ο διαγώνισμα για τα ΓΜ ΙΙ, προγραμματισμένο από καιρό για σήμερα Πέμπτη 23/3, στις 4μμ, αναβάλλεται για την Παρασκευή 24/3, στις 3μμ, ώρα των ασκήσεων.

Ζητώ συγγνώμη για την τυχόν αναστάτωση που σας προκαλεί η αναβολή αυτή,.

5.9.3 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: 1ο Διαγώνισμα

Το 1ο διαγώνισμα έγινε την Παρασκευή, 24 Μαρτίου 2006, ώρα 15:00 - 16:00. Τα θέματα και οι λύσεις είναι εδώ:

1. (α) Ποιά είναι η εξίσωση επιπέδου που περνά από τα σημεία $\vec i$, $\vec j$ και $\vec k$; (β) Ποια η απόσταση του σημείου $(2,0,0)$ από αυτό το επίπεδο;

   Λύση: (α) Το $(\vec i - \vec j)\times(\vec k - \vec j)$ είναι κάθετο στο επίπεδο, άρα μπορούμε να πάρουμε ως κάθετο διάνυσμα το $(1,1,1)$. Η εξίσωση είναι λοιπόν του τύπου $x+y+z=D$, και δοκιμάζοντας π.χ. το σημείο $\vec i$ του επιπέδου παίρνουμε την εξίσωση $x+y+z=1$.
   (β) Παίρνουμε το διάνυσμα $(2,0,0)-\vec i$ κατ το προβάλλουμε πάνω στην κάθετη κατεύθυνση του επιπέδου. Το μήκος της προβολής είναι η απόσταση από το επίπεδο και αυτή είναι
   

   $$(1,0,0)\cdot\frac{(1,1,1)}{\sqrt3}= \frac{1}{\sqrt3}.$$
   
   

2. Περιγράψτε με πολικές συντεταγμένες το χωρίο του επιπέδου $xy$ που περικλείεται από τους κύκλους με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνες 2 και 3 και βρίσκεται στο ημιεπίπεδο $y \ge 0$.

   Λύση: Περιγράφεται από τις ταυτόχρονες ανισότητες $2 \le r \le 3$ και $0 \le \theta \le \pi$.

3. Ένα σωμάτιο διαγράφει μια καμπύλη στο χώρο κινούμενο με το νόμο $\vec r(t) = (0, \cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$, $t\ge 0$. Δώστε μια παραμετρική εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας της καμπύλης την πρώτη χρονική στιγμή (δηλ. το ελάχιστο $t\ge 0$) που αυτή η εφαπτομένη είναι παράλληλη με τον άξονα των $y$.

   Λύση: Έχουμε $\vec r'(t) = (0, -\pi \sin 2\pi t, 2\pi \cos 2\pi t)$. Για να είναι αυτό παράλληλο στον άξονα των $y$ πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του $\vec j$, πρέπει δηλ. και η τελευταία συνιστώσα του να είναι 0. Αυτό δίνει την εξίσωση $\cos 2\pi t = 0$ που έχει ελάχιστη λύση $\ge 0$ το $t=1/4$, οπότε το σωμάτιο βρίσκεται στο $\vec r(1/4) = (0, 0, 1)$. Μια παραμετρική εξίσωση της ευθείας λοιπόν είναι η
   

   $$\vec u(t) = (0, 0, 1) + t(0, 1, 0) = (0, t, 1), -\infty < t < \infty.$$
   
   

4. Βρείτε το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα $\vec T(t)$ και το πρωτεύον μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα $\vec N(t)$ της καμπύλης $\vec r(t) = (t, \ln\cos t)$, $-\pi/2 < t < \pi/2$.

   Λύση: Έχουμε $\vec r'(t) = (1, -\sin t/\cos t)$ και άρα
   

   $${\left\vert{\vec r'(t)}\right\vert} = \sqrt{1+\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} = \frac{1}{\cos t}.$$
   
   
   Οπότε
   
   $$\vec T(t) = \frac{\vec r'(t)}{{\left\vert{\vec r'(t)}\right\vert}} = (\cos t, -\sin t).$$
   
   
   Έπεται ότι $\vec T'(t) = -(\sin t, \cos t)$ και ${\left\vert{\vec T'(t)}\right\vert}=1$, άρα
   
   $$\vec N(t) = \frac{\vec T'(t)}{{\left\vert{\vec T'(t)}\right\vert}}=-(\sin t, \cos t).$$
   
   

Τα αποτελέσματα του 1ου διαγωνίσματος (στην κλίμακα 0-10) μπορείτε να τα δείτε εδώ (κατά αριθμό μητρώου) και εδώ (κατά βαθμό).

5.10 Τρ, 28/3/06: Μερικές παράγωγοι

Ορίσαμε την έννοια της μερικής παραγώγου μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών ως προς μια από τις μεταβλητές της και είδαμε διάφορα παραδείγματα υπολογισμού μερικών παραγώγων πρώτης και δεύτερης τάξης. Επίσης είδαμε πώς να υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους συναρτήσεων που ορίζονται πεπλεγμένα. Μιλήσαμε επίσης (σε προκαταρκτικό στάδιο) για την έννοια της κατά κατεύθυνση παραγώγου, που είναι μια φυσιολογική γενίκευση της έννοιας της μερικής παραγώγου.

Διαβάστε την §11.3 και λύστε τις ασκήσεις 1-4, 23, 24, 41, 42, 47, 48, 52, 57, 58, 61, 63, 63, 69, 70, 71.

5.11 Πέ, 30/3/06: Κανόνας αλυσίδας για συναρτήσεις με πολλές μεταβλητές

Καλύψαμε την §11.4. Είδαμε πώς παραγωγίζουμε σύνθετες συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Για κάθε περίπτωση φτιάχνουμε πρώτα ένα διάγραμμα εξαρτήσεων που δείχνει ποιες ποσότητες εξαρτώνται από ποιες άλλες. Αυτό το διάγραμμα μας βοηθάει να γράψουμε τον αντίστοιχο «κανόνα αλυσίδας».

Λύστε τις ασκήσεις §11.4: 1-4, 9, 10, 13-16, 25, 26, 29, 30.

5.12 Τρ, 4/4/06: Κατά κατεύθυνση παράγωγος και κλίση της $f(\vec x)$

Ορίσαμε την έννοια της κατά κατεύθυνση παραγώγου μιας συνάρτησης $f(x,y)$ ή $f(x,y,z)$ και είδαμε τη γεωμετρική της ερμηνεία καθώς και πώς να την υπολογίζουμε μέσω του διανύσματος της κλίσης $\vec\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$ της συνάρτησης $f$. Είδαμε διάφορα παραδείγματα χρήσης του $\vec\nabla f$ σε υπολογισμούς γεωμετρικών ποσοτήτων όπως εφαπτόμενων επιπέδων και ευθειών.

Διαβάστε την §11.5 και λύστε τις ασκήσεις: 1, 2, 5, 6, 9, 10, 15-18, 23, 24, 27, 28, 43, 44.

5.13 Πέ, 6/4/06: Τοπικά και ολικά ακρότατα

Καλύψαμε την §11.7. Κάναμε επίσης μια επανάληψη στις έννοιες των τοπικών και ολικών ακροτάτων και σαγματικών σημείων σε συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Είδαμε διάφορα παραδείγματα εύρεσης των κρίσιμων σημείων μιας συνάρτησης και μελέτης του ποια από αυτά είναι τοπικά ελάχιστα, τοπικά μέγιστα ή σαγματικά σημεία. Επίσης είδαμε δύο παραδείγματα εύρεσης των ολικών ακροτάτων συνάρτησης που ορίζεται σε κάποιο περιορισμένο πεδίο ορισμού. Σε αυτή την περίπτωση εκτός από τα κρίσιμα σημεία είμαστε υποχρεωμένοι να λάβουμε υπ' όψιν και το σύνορο του πεδίου ορισμού.

Λύστε τις ασκήσεις §11.7: 1-4, 21, 22, 27, 29, 32.

5.14 Τρ, 11/4/06: Πολλαπλασιαστές Lagrange

Ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης (εύρεσης δηλ. ελαχίστου ή μεγίστου) μιας συνάρτησης δύο ή τριών μεταβλητών όταν οι μεταβλητές αυτές δεν είναι ελεύθερες στη μεταβολή τους, αλλά υπακούουν σε μια ή δύο συνθήκες της μορφής $g(x,y,z)=0$, λέγεται πρόβλημα βελτιστοποίησης υπό συνθήκη. Είδαμε μια πολύ σημαντική μέθοδο επίλυσης τέτοιων προβλημάτων, τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange (§11.8).

Λύστε τις ασκήσεις §11.8: 1-4, 8, 11, 16-18, 23, 25, 33, 37.

5.15 Πέ, 13/4/06: Πολυώνυμα και σειρές Taylor

Είπαμε ξανά ορισμένα πράγματα για σειρές και πολυώνυμα Taylor μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, και είδαμε πώς αυτά γενικεύονται σε συναρτήσεις δύο μεταβλητών. Είδαμε το συμβολισμό $(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y})^n$ και είδαμε πώς ερμηνεύεται και πώς υπολογίζουμε τη «δράση» αυτού του «τελεστή» πάνω σε μια συνάρτηση $f$.

Διαβάστε την §11.8 και λύστε τις ασκήσεις: 1-4, 11, 12.

5.15.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Δεύτερο διαγώνισμα

Το δεύτερο διαγώνισμα θα γίνει την πρώτη εβδομάδα μετά το Πάσχα, την ώρα των ασκήσεων της Παρασκευής (3μμ). Η ύλη είναι το Κεφ. 11 (ό,τι έχουμε κάνει από αυτό). Μπορείτε εδώ να βρείτε ένα υπόδειγμα για να ξέρετε περίπου τι να περιμένετε.

5.16 Τρ, 2/5/06: Διπλά ολοκληρώματα, κέντρο μάζας

Είδαμε πώς υπολογίζουμε διπλά ολοκληρώματα συναρτήσεων ορισμένων πάνω σε ένα χωρίο $R$ του επιπέδου με επαναλαμβανόμενη ολοκλήρωση ως προς τις δύο μεταβλητές. Είδαμε επίσης πώς υπολογίζεται το κέντρο βάρους ενός χωρίου ή μιας κατανομής μάζας σε ένα χωρίο.

Διαβάστε τις §§12.1 και 12.2.

Λύστε τις ασκήσεις: §12.1: 1-10, 13, 16, 21-24, 41, 42, §12.2: 15, 17, 19-21, 31-33.

5.17 Πέ, 4/5/06: Υπόδειγμα διαγωνίσματος και πολικές συντεταγμένες για διπλά ολοκληρώματα

Την πρώτη ώρα λύσαμε τις ασκήσεις του υποδείγματος για το 2ο διαγώνισμα.

Έπειτα είδαμε πώς υπολογίζουμε διπλά ολοκληρώματα με πολικές συντεταγμένες.

Λύστε τις ασκήσεις §12.3: 1-4, 12, 19, 20.

5.17.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τρίτο διαγώνισμα

Αλλάζει ο τρόπος διεξαγωγής του τρίου διαγωνίσματος. Αντίθετα με την ανακοίνωση που είχε γίνει στην αρχή του εξαμήνου, το τρίτο διαγώνισμα θα γίνει ενιαία για όλους, μέσα στην εξεταστική.

5.17.2 Πα, 5/5/06: Δεύτερο διαγώνισμα

Έγινε σήμερα το 2ο διαγώνισμα. Μπορείτε να το δείτε εδώ σε μορφή PDF.

5.17.3 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Σα, 6/5/06: Δεύτερο διαγώνισμα: βαθμοί

Μπορείτε να δείτε τους βαθμούς σας εδώ κατά βαθμό και εδώ κατά ΑΜ.

5.18 Τρ, 9/5/06: Τριπλά ολοκληρώματα

Είδαμε πώς υπολογίζουμε τριπλά ολοκληρώματα (σε καρτεσιανές συντεταγμένες). Διαβάστε τις §12.4 και 12.5.

Λύστε τις ασκήσεις: §12.4: 2, 3, 7-11, 21, §12.5: 1-12.

5.19 Πέ, 11/5/06: Τριπλά ολοκληρώματα σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες

Είδαμε πώς ορίζονται οι κυλινδρικές συντεταγμένες $r, \theta, z$, που δεν είναι τίποτε άλλο από πολικές συντεταγμένες για τις δύο πρώτες καρτεσιανές μεταβλητές $x,y$. Επίσης είδαμε τις λίγο πιο περίπλοκες σφαιρικές συνεταγμένες $\rho, \theta, \phi$. Για τα δύο αυτά είδη συνεταγμένων είδαμε ποια βήματα απαιτούνται για τον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος πάνω σε ένα χωρίο που μας έχει περιγραφεί με καρτεσιανό τρόπο χρησιμοποιώντας μια από αυτές τις περιπτώσεις συνεταγμένων.

Διαβάστε μόνοι σας τον Παράδειγμα 5 της §12.6 και λύστε τις ασκήσεις 12, 13, 15, 33, 38.

5.20 Τρ, 16/5/06: Δεν έγινε μάθημα

Δεν έγινε μάθημα σήμερα λόγω απουσίας όλων των φοιτητών (κατάληψη;).

5.21 Πέ, 16/5/06: Δεν έγινε μάθημα

Δεν έγινε μάθημα σήμερα λόγω κατάληψης.

5.21.1 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Πα, 19/5/06: Μάθημα της 25/5/06

Το μάθημα της 25/5/06 δε θα γίνει.

5.21.2 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Δε, 22/5/06: Τρίτο διαγώνισμα

Επειδή χάθηκαν αρκετές διαλέξεις από το τέλος του εξαμήνου, το τρίτο διαγώνισμα του μαθήματος δε θα αφορά μόνο το τελευταίο κομμάτι του μαθήματος (μετά το δεύτερο διαγώνισμα δηλ.) αλλά όλη την ύλη του μαθήματος που έχει διδαχτεί μέσα στο εξάμηνο.

5.21.3 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Πα, 4/8/06: Διαγώνισμα Σεπτεμβρίου

Η εξέταση του Σεπτεμβρίου θα γίνει στις 9 πμ του Σαββάτου 9/9/06. Το διαγώνισμα θα είναι εφ' όλης της ύλης που έχει διδαχτεί (δείτε πιο πάνω στην ιστοσελίδα αυτή). Ο βαθμός του διαγωνίσματος θα είναι και ο τελικός σας βαθμός για το μάθημα, ανεξάρτητα με το τι έχετε γράψει μέχρι στιγμής στα προηγούμενα δύο διαγωνίσματα.

5.21.4 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Δε, 11/9/06: Αποτελέσματα Σεπτεμβρίου

Μπορείτε να δείτε εδώ τα αποτελέσματα του διαγωνίσματος Σεπτεμβρίου (ΑΜ, τελικός στα 40, τελικός βαθμός) ταξινομημένα κατά βαθμό.

Αν θέλετε να δείτε το γραπτό σας παρακαλώ να έρθετε στο γραφείο μου από τις 25/9/06 και μετά.

5.21.5 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Συμπληρωματική προφορική εξέταση

Όσοι έγραψαν στο τελικό διαγώνισμα Σεπτεμβρίου από 15 έως 18 (στα 40) μπορούν, εάν θέλουν, να έχουν άλλη μια ευκαιρία για να περάσουν το μάθημα (όχι με πάνω από βαθμό 5) παίρνοντας προφορική εξέταση την Τετάρτη 4/10/06, ώρα 11:00, στο γραφείο μου. Απαραίτητη προϋπόθεση είναι να δηλώσετε την πρόθεσή σας αυτή στέλνοντάς μου e-mail μέχρι και το μεσημέρι της Τρίτης 3/10/06.

5.21.6 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου 2007

Μπορείτε να δείτε εδώ τους βαθμούς.